Vektor dalam Ruang Euklide

[ Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u₁ = v₁ u₂ = v₂ u_n = v_n Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n) Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u₁, k u₂,...,k u_n) Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,...., 0) Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un) Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u) atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un) Sifat-sifat dari vektor dalam $R^n$
jika $\mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n}$ , $\mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n}$ , dan $\mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n}$ adalah vektor dalam $R^n$ sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u

Perkalian dot product $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ didefinisikan sebagai

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}$

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector $y= (y1,y2,...,yn)$ dalam $R^n$ dalam setiap $y_1,y_2,....,y_n$ adalah nilai yang terukur.
Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel $x= (x_1,x_2,...,x_15)$ dalam setiap $x_1$ adalah jumlah truk dalam depot pertama dan $x_2$ adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam $R^4$ dan tegangan output bisa ditulis sebagai $R^3$ . Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input $v = (v_1,v_2,v_3,v_4)$ dalam $R^4$ ke vector keluaran $w = (w_1,w_2,w_3)$ dalam $R^3$ .
Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk $v = (x,y,h,s,b)$ dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel $s = (s_1,s_2,s_3,...,s_10)$ dalam setiap angka $s_1,s_2,...,s_10$ adalah output dari sektor individual.
Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah $x_1,x_2,...,x_6$ dan kecepatan mereka adalah $v_1,v_2,...,v_6$ . Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

$V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t)$ Dalam $R^13$ . Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang $R^n$
jika u = $(u_1,u_2,u_3,...,u_n)$

Maka Panjang vektor u

$|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2}$
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

$d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2}$

BLOGNYA MATEMATIKA

Minggu, 25 November 2012