Contoh Soal Struktur Aljabar dan Penyelesaiannya

 

1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. (penyelesaian)
   
2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. (penyelesaian)
3. Didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R. (penyelesaian)
4. Tunjukan bahwa Grup (Z₂,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. (penyelesaian)
5. Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma. (penyelesaian)
6. Tunjukan bahwa Z₄ adalah merupakan suatu Ring. (penyelesaian)
7. Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. (penyelesaian)
8. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P subset Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif. (penyelesaian)
9. Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. (penyelesaian)
10. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c. (penyelesaian)
11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain. (penyelesaian)
12. Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. (penyelesaian)