Persamaan Linear & Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
$\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2 & 5\\ 1 & -5 & 2 & 7\\ 2 & 1 & -3 & 9\\ \end{bmatrix}$
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & -8 & 8\\ \end{bmatrix}$

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & -5 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 & 5\\ 0 & 1 & 2 & 7\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 6\\ \end{bmatrix}$

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear

$x + 2y + z = 6$

$x + 3y + 2z = 9$

$2x + y + 2z = 12$

Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$ B1 x 1 ,. Untuk merubah a₁₁ menjadi 1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$ B2 - 1.B1 ,. Untuk merubah a₂₁ menjadi 0
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ B3 - 2.B1 ,. Untuk merubah a₃₁ menjadi 0
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ B2 x 1 ,. Untuk merubah a₂₂ menjadi 1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ \end{bmatrix}$ B3 + 3.B2 ,. Untuk merubah a₃₂ menjadi 0
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{bmatrix}$ B3 x 1/3 ,. Untuk merubah a₃₃ menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

$x + 2y + z = 6$

$y + z = 3$

$z = 3$

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

$y + z = 3$

$y + 3 = 3$

$y = 0$

$x + 2y + z =6$

$x + 0 + 3 = 6$

$x = 3$

Jadi nilai dari $x = 3$ , $y = 0$ ,dan $z = 3$

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear

$x + 2y + 3z = 3$

$2x + 3y + 2z = 3$

$2x + y + 2z = 5$

Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 5\\ \end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 2 & 1 & 2 & 5\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & -3 & -4 & -1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & -4 & -3\\ 0 & 0 & 8 & 8\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari $x = 2$ , $y = -1$ ,dan $z = 1$

BLOGNYA MATEMATIKA

Minggu, 25 November 2012