ISOMORFISMA

Sifat-sifat Isomorfisma

Beberapa teorema:

·              Jika f:G®G’ suatu isomorfisma, e dan e’ masing-masing adalah unsur kesatuan G dan G’, maka f(e)=e’.

·              Jika f:G®G’ suatu isomorfisma, dan f(a)=a’, aÎG, a’ÎG’, maka f(a^-1)=[f(a)]^-1.

·              Jika f:G®G’ suatu isomorfisma dan order elemen a adalah n, maka order f(a) juga adalah n.

·              Relasi isomorfisma dalam himpunan grup adalah relasi ekuivalen.

Buktikanlah.

Isomorfisma Grup Siklis

Beberapa teorema:

·              Grup siklis yang berorder sama adalah isomorfis.

·              Suatu grup siklis yang tak berhingga isomorfis dengan grup aditif bilangan bulat.

·              Suatu grup siklis berorder n isomorfis dengan grup aditif kelas residu modulo n.

·              Suatu subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup aditif kelipatan bulat suatu bilangan bulat.

Perhatikanlah bahwa subgrup dari suatu grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup itu sendiri.

Catatan:

Grup aditif kelas residu modulo n adalah grup {0,1,2,3,...,n-1} dengan operasi penjumlahan modulo n.

Teorema Cayley

Setiap grup berhingga isomorfis dengan suatu grup permutasi.

Contoh-contoh:

·              Buktikan bahwa grup aditif G={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} isomorfis dengan grup aditif G’={...,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,...}, untuk m=sembarang bilangan bulat.

·              Misalkan G grup aditif bilangan riil dan G’ grup multiplikatif semua bilangan riil positif. Tunjukkan bahwa pemetaan f:G®G’, f(x)=e^x, xÎG, dan g:G’®G, g(x)=ln x, x’ÎG’, masing-masing adalah suatu isomorfisma.

·              G adalah grup {0,1,2,3,4} dengan operasi penjumlahan modulo 5 dan G’ adalah grup siklis berorder 5, G’={a,a²,a³,a⁴,a⁵=e}. Buktikan bahwa pemetaan f:G®G’, f(n)=aⁿ untuk setiap nÎG adalah suatu isomorfisma dari G pada G’.

·              Carilah grup permutasi regular yang isomorfis dengan grup multiplikatif G={1,-1,i,-i}.