Contoh Soal Struktur Aljabar

Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma


Penyelesaian :

Tabel



Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)


Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+) berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1 dari kedua tabel tersebut.

Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakan Isomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabel diketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,

sehingga :

p(a + b) = p(a) . p(b)

p(0 + 1) = p(0) . p(1)

p(1) = 1 . -1

-1 = -1

Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakan Isomorfisma