Join Me On Facebook

Minggu, 25 November 2012

Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix} a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor


[sunting] Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix}
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
\end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{bmatrix} = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8
C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} -12&6&-8\\ -4&2&-8\\ 12&-10&8\\ \end{bmatrix}
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} -12&-4&12\\ 6&2&-10\\ -8&-8&8\\ \end{bmatrix}

[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
Contoh
\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

[sunting] Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-3 & 4 & 6\\
-1 & -2 & 3\\
\end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
 x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
 x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
 x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}

R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1\\
2 & 4 & 6\\
\end{bmatrix}
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar