HOMOMORFISMA

Definisi:

(A,*) dan (B,.) adalah grup-grup. Suatu fungsi f:A®B disebut homomorfisma jika f(a₁*a₂) = f(a₁).f(a₂), untuk setiap a₁,a₂ Î A.

Contoh-contoh:

·              G=himpunan bilangan rasional dengan operasi +, G’=himpunan bilangan riil (tanpa 0) dengan operasi x. Pemetaan j:G®G’ didefinisikan sebagai j(x)=2^x, untuk semua x Î G. Perhatikan bahwa j(a+b) = 2^a+b = 2^a  x 2^b = j(a) x j(b), sehingga j adalah homomorfisma.

·              G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan j: G ® G’ sebagai berikut: j(x) = log x, untuk setiap x Î G. Pemetaan: j(ab) = log ab = log a + log b = j(a) + j(b), sehingga j adalah homomorfisma.

Definisi:

·              Homomorfisma onto disebut epimorfisma. Onto artinya: untuk setiap g’ Î G’, ada g Î G, sedemikian sehingga j(g) = g’.

·              Homomorfisma satu-satu disebut monomorfisma. Satu-satu artinya: jika j(x) = j(y), maka x=y.

·              Homomorfisma satu-satu dan onto disebut isomorfisma.

·              Homomorfisma j: G ® G (dari grup ke dalam dirinya sendiri) disebut endomorfisma.

·              Suatu endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

Contoh:

·              Jika ada 2 buah grup yang memiliki struktur yang sama, misalnya grup multiplikatif {e=1, a= -1, b=i, c= -i} dan grup matriks:

dengan operasi perkalian matriks. Keduanya memiliki daftar Cayley yang identik. Perhatikan daftar Cayley berikut.

x	E	A	B	C		x	e	a	b	c
E	E	A	B	C		e	e	a	b	c
A	A	E	C	B		a	a	e	c	b
B	B	C	A	E		b	b	c	a	e
C	C	B	E	A		c	c	b	e	a

Kedua grup memiliki daftar Cayley yang identik, sehingga dikatakan kedua grup isomorf.

·              B = {0,1,2} dengan operasi + modulo 3 dan G={S³=I, S, S²} dengan operasi rotasi segitiga sama sisi terhadap pusat dengan sudut putar 120 derajat adalah grup-grup. Definisikan: j(0)=I=S³, j(1) = S, j(2)=S². Perhatikanlah bahwa j adalah isomorfisma.

·              Ambil grup aditif bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan j:Z®Z sebagai berikut: j(x)=2x. Maka j(x+y)=2(x+y)= 2x+2y=j(x)+j(y), untuk setiap x,yÎZ. Bentuk j merupakan suatu endomorfisma.

·              Ambil grup (R*,x), yakni himpunan semua bilangan riil taknol dengan operasi perkalian. Juga grup S={-1,1} dengan operasi perkalian. Definisikan pemetaan: j:R*®S sebagai berikut: j(x)=1 bila x>0 dan j(x)=-1 bila x<0. Maka untuk setiap x,yÎR* berlaku j(xy)=j(x).j(y). Juga j adalah onto, sehingga j adalah epimorfisma.

·              G adalah himpunan bilangan riil positif dengan operasi x. G’ adalah himpunan bilangan riil dengan operasi +. Pemetaan j: G ® G’ sebagai berikut: j(x) = log x, untuk setiap x Î G. Pemetaan: j(ab) = log ab = log a + log b = j(a) + j(b), sehingga j adalah homomorfisma. Karena j injektif, maka j adalah monomorfisma.

·              G adalah grup bilangan bulat dengan operasi +. Pemetaan j:G®G didefinisikan sebagai j(x)=-x. Apakah j automorfisma? Jelaskan.

Definisi:

Jika f adalah homomorfisma dari G ke G’, maka himpunan semua elemen G yang dipetakan oleh f (onto) ke elemen e’ÎG’ disebut kernel dari homomorfisma f.

Teorema:

Misalkan G dan G’ adalah dua grup, e dan e’ masing-masing adalah unsur kesatuannya. Jika f suatu homomorfisma dari G ke G’, maka:

·              f(e)=e’

·              f(x^-1)=[f(x)]^-1 untuk setiap xÎG