Join Me On Facebook

Senin, 26 November 2012

Integral tertentu


Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real,integral tertentu:
\int_a^b f(x)\,dx \, ,
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1x2x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
 a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!
Himpunan  P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\, tersebut kita sebut sebagaipartisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval  [x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n] . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi =xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbux sampai menyentuh titik (tiƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i
Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi \lVert P \rVert mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:
Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan Iadalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i  apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \} di sepanjang [a,b] dengan \lVert P \rVert < \delta  dan pilihan ti apapun pada [xk - 1ti], kita dapatkan
\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.
Secara matematis dapat kita tuliskan:
\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh
Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu \int_0^b x\, dx, yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu \int_0^b x\, dx sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah \lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i
Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'iyang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
 P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\} dan t_i = \frac{ib}{n}, sehingga:
\begin{align}
  \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\
  &=  \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\
  &=  \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ 
\end{align}
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi \lVert P \rVert mendekati 0, maka didapatkan:
\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}
Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar