Join Me On Facebook

Minggu, 25 November 2012

Contoh Soal Struktur Aljabar

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Jawaban:

P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.
Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b ∈ P.
Perhatikan :
a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)
= (x+y) + (x+y) + (x+y)
= 3(x+y)
Karena x+y ∈ Z, maka a+b ∈ P
Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b = b+a
Perhatikan:
a+b = 3x + 3y = 3(x+y)
= 3(y+ x)
= 3y + 3x
= b + a
Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)
Perhatikan:
a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)
= 3x + 3(y+z)
=3(x+ (y+z))
= 3((x+y) + z)
= 3(x+y) + 3z
= (3x + 3y) + 3z
= (a+b) + c
Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.
Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.
Perhatikan:
a + 0 = 3x + 3.0
= 3(x+0)
= 3x
= a
Ini berarti 0 unsur nol dalam P.
Ambil sebarang a = 3x ∈ P. Pilih b = 3(-x) ∈ P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)
Perhatikan:
3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))
= 3.0
= 0
Jadi –(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.
Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b ∈ P.
Perhatikan:
a .b = 3x . 3y
= 3. 3xy
= 3(3xy)
Karena 3xy ∈ Z, maka a.b ∈ P.
Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c
Perhatikan:
a.(b.c) = 3x(3y . 3z)
= 3x(3(3yz))
= 3.3.3(x(yz))
= 3.3.3((xy)z)
= 3.3(xy) . 3z
= (3x . 3y). 3z
= (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a
Perhatikan:
a(b+c) = 3x(3y + 3z)
= 3x(3(y + z))
= 3.3(x(y + z))
= 3.3(xy + xz)
= 3.3xy + 3.3xz
= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x
= ((y+z)3). 3x
= ((y+z)x)3.3
= (yx + zx)3.3
= 3.3yx + 3.3zx
= 3y.3x + 3z.3x
= b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.
Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b = b.a
Perhatikan:
a .b = 3x. 3y
= 3.3xy
= 3.3yx
= 3y. 3x
= b.a

Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar