BLOGNYA MATEMATIKA: November 2012

Jumat, 30 November 2012

Induksi matematika

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

CONTOH

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n².

Persamaan yang perlu dibuktikan:

$S(n) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2n - 1 = n ^ 2$

Langkah pembuktian pertama:
untuk $\ n = 1$ , benar bahwa $\ S(1) = 1 ^ 2 = 1$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk $n = k$ , yaitu

$S(k) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 = k ^ 2$ , maka akan dibuktikan benar pula untuk $n = k + 1$ , yaitu

$S(k + 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 =(k + 1) ^ 2$

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa $k ^ 2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1$ sesuai dengan pengandaian awal

$[1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1] + 2(k + 1) - 1 = k ^ 2 + 2(k + 1) - 1$

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

$\ k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2$ , ingat bahwa $(k + 1) ^ 2 = k ^ 2 + 2k + 1$

$\ (k + 1) ^ 2 = (k + 1) ^ 2$ (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, $S(n)$ benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

 Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan  Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu  Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements  n  A S(n) dengan A  N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.  S(n) adalah fungsi propositional

TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA  Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar  Inductive Step : Sumsikan S(k) benar

 Akan dibuktikan  S(k)  S(k+1) benar

 Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer

 positif

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Contoh 1 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

     1 = ½ 1 . (1+1)  1 = 1

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)  adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :  1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

 Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif n

Contoh 2 : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

     1 = 12  1 = 1

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2  adib. Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2 k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 : Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

     1 = 13 + 2(1)   1 = 3 , kelipatan 3

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x  adib. Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n

Garis Singgung Persekutuan 2 Lingkaran

Garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. Pada dua buah lingkaran, terdapat garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran tersebut, kita dapat menggunakan teorema pythagoras. Coba perhatikan berikut ini:

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari R dan r. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis q merupakan garis singgung persekutuannya. Geser garis q melalui perpanjangan PA sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis CQ dengan CQ//q. Perhatikan segitiga PQC siku-siku di C, dengan pythagoras maka:

$CQ^2 = p^2 - PC^2$

$CQ = \sqrt {p^2 - PC^2}$

$CQ = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}$

karena CQ = q maka panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:

$q = \sqrt {p^2 - (R + r)^2}$

Keterangan:

q = garis singgung persekutuan dalam

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Garis Singgung Persekutuan Luar

Pada gambar tersebut, terdapat dua buah lingkaran yang berpusat di P dan Q, dengan jari-jari r dan R. Garis p merupakan jarak titik pusat lingkaran PQ, sedangkan garis l merupakan garis singgung persekutuan luarnya. Geser garis l sejauh r sedemikian hingga terbentuk garis PR dengan PR//l. Perhatikan segitiga PQR siku-siku di R, dengan pythagoras maka:

$PR^2 = p^2 - QR^2$

$PR = \sqrt {p^2 - (R - r)}^2$

$PR = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}$

Karena PR = l, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah

$l = \sqrt {p^2 - (R - r)^2}$

Keterangan:

l = garis singgung persekutuan luar

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R, r = jari-jari lingkaran, dengan R > r

Rabu, 28 November 2012

Contoh Soal Struktur Aljabar dan Penyelesaiannya

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. (penyelesaian)
Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring. (penyelesaian)
Didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q }. Buktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R. (penyelesaian)
Tunjukan bahwa Grup (Z₂,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma. (penyelesaian)
Misalkan (Z,+) adalah Grup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa (Z,+) yang didefinisikan pemetaan p : Z → Z adalah p(x) = 2x, ∀ x ∈ Z, adalah suatu Homomorfisma. (penyelesaian)
Tunjukan bahwa Z₄ adalah merupakan suatu Ring. (penyelesaian)
Dari soal no.6 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. (penyelesaian)
Misalkan P = {genap, ganjil} dan P subset Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil” adalah suatu Ring Komutatif. (penyelesaian)
Dari soal no 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. (penyelesaian)
Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c. (penyelesaian)
Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain. (penyelesaian)
Dari soal 8, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. (penyelesaian)

Senin, 26 November 2012

Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real,integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagaipartisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i =x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbux sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan Iadalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_iyang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

Daftar integral dari fungsi eksponensial

$\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx} \qquad\mbox{(untuk } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}$

$\int xe^{cx}\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$

$\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)$

$\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx$

$\int\frac{e^{cx}}{x}\; dx = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}$

$\int\frac{e^{cx}}{x^n}\; dx = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,dx\right) \qquad\mbox{(untuk }n\neq 1\mbox{)}$

$\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)$

$\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)$

$\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx$

$\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx$

$\int x e^{c x^2 }\; dx= \frac{1}{2c} \; e^{c x^2}$

$\int e^{-c x^2 }\; dx= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \mbox{erf}(\sqrt{c} x)$ ( $\mbox{erf}$ adalah fungsi kesalahan/error function)

$\int xe^{-c x^2 }\; dx=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2}$

$\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}})$

$\int e^{x^2}\,dx = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\,\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\;dx \quad \mbox{sah untuk } n > 0,$

dimana $c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)\,!}{j!\, 2^{2j+1}} \ .$

Integral tertentu

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$ (integral Gauss)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{2bx}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)$

$\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,dx=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,dx=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)$

$\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,dx = \begin{cases} \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\ \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{bilangan bulat}, a>0) \\ \frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{bilangan bulat}, a>0) \end{cases}$

$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,dx = \begin{cases} \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\ \frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\ \end{cases}$